هر روز!
هر روز!

امید ریاضی در نظریه احتمالات امید ریاضی، میانگین، مقدار مورد

امید ریاضی
در نظریه احتمالات امید ریاضی، میانگین، مقدار مورد انتظار یا ارزش مورد انتظار یک متغیر تصادفی گسسته برابر است با مجموع حاصل‌ضرب احتمال وقوع هر یک از حالات ممکن در مقدار آن حالت. در نتیجه میانگین برابر است با مقداری که بطور متوسط از یک فرایند تصادفی با بی‌نهایت تکرار انتظار می‌رود. بطور مثال برای تاس داریم:
یعنی اگر بی‌نهایت بار تاس را پرت کنیم، مقدار میانگین بدست آمده به سمت عدد ۳٫۵ میل خواهد کرد.
امید ریاضی یک متغیر تصادفی به صورت زیر تعریف می‌شود:
E = ∫ x f X ( x ) d x {displaystyle mathbb {E} =int {xf_{X}(x)dx}}
که در آن f X ( x ) {displaystyle f_{X}(x)} تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی X {displaystyle X} است. برای متغیرهای تصادفی گسسته تعریف بالا به صورت زیر بازنویسی می‌شود:
E = ∑ i = 1 n x i p X ( x i ) {displaystyle mathbb {E} =sum _{i=1}^{n}{x_{i}p_{X}(x_{i})}}
امید ریاضی یک عدد ثابت برابر با همان عدد ثابت است؛ یعنی اگر c {displaystyle c} عددی ثابت باشد، آنگاه: E ⁡ ( c ) = c {displaystyle operatorname {E} (c)=c} .
اگر برای دو متغیر تصادفی X و Y داشته باشیم X ≤ Y {displaystyle Xleq Y} ، آنگاه با احتمال قریب به یقین داریم: E ⁡ ( X ) ≤ E ⁡ ( Y ) {displaystyle operatorname {E} (X)leq operatorname {E} (Y)} .
عملگر امید ریاضی خطی است یعنی برای هر دو متغیر تصادفی X {displaystyle X} و Y {displaystyle Y} و هر عدد حقیقی a {displaystyle a} و b {displaystyle b} و c {displaystyle c} داریم:
و یا:
اگر متغیر تصادفی X همواره کوچکتر یا مساوی متغیر تصادفی Y باشد، امید ریاضی X کوچکتر یا مساوی امید ریاضی Y خواهد بود:
اگر X≤Y آنگاه ≤E ≤ E ≤ E ≤ E = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x k p k . {displaystyle operatorname {E} =x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+ldots +x_{k}p_{k};.}
چون جمع همهٔ احتمالات pi برابر یک است p1 + p2 + … + pk = ۱ (بنابر این می‌توان مقدار مورد انتظار را به صورت میانگین وزن دار به همراه pi’sهایی که وزن هستند دید:
اگر همهٔ جواب‌های xi دارای احتمال یکسان باشند (یعنی p1 = p2 = … = pk), پس میانگین وزن دار به میانگین ساده تبدیل می‌شود. این شهودی است: مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی میانگین همهٔ مقادیری است که می‌توان گرفت؛ بنابراین، این مقدار مورد انتظار، مقداری است که شما انتظار دارید روی میانگین اتفاق بیفتد. اگر جواب‌های xi هم احتمال نباشند، بنابراین ممکن است میانگین ساده جایگزین میانگین وزن دار (که بعضی از جواب‌های محتمل تر از بقیه را در نظر می‌گیرد) شود؛ ولی با این حال این شهود و کشف به همین صورت باقی می‌ماند: مقدار مورد انتظار X، مقداری است که انتظار می‌رود روی میانگین اتفاق بیفتد. مثال ۱- فرض کنید X جواب یک تاس شش گوشه را نشان دهد. Xتعداد خال‌های روی وجه بالایی تاس بعد از پرتاب است می‌باشد. مقادیر ممکن برای X، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵و۶ (که همگی دارای احتمال برابر ۱/۶ هستند) می‌باشند. امید Xبرابر است با:
اگر تاس n بار پرتاب شود و میانگین نتایج محاسبه شوند پس با افزایش n، میانگین به مقدار مورد انتظار همگرا خواهد بود. به این موضوع قانون قوی مقادیر بزرگ می‌گویند. برای مثال دنبالهٔ ده تاس به صورت ۲, ۳, ۱, ۲, ۵, ۶, ۲, ۲, ۲, ۶ است که میانگین آنها برابر ۳٫۱ با فاصلهٔ ۰٫۴ از مقدار مورد انتظار ۳٫۵ می‌باشند. همگرایی نسبتاً پائین است. احتمالی که میانگین در بین محدودهٔ ۳٫۵ ± ۰٫۱ افت می‌کند برای ده پرتاب ۲۱٫۶٪ و برای هز

برای ارسال اولین نظر کلیک کنید